Андрей Мягков родился 8 июля 1938 года в семье к.т.н. Ленинградского полиграфического техникума Василия Дмитриевича Мягкова. Школьные годы будущего актера сначала сформировали интерес мальчика к техническим знаниям, однако в средних классах стал прослеживаться интерес к театру. Тогда он записался в драматический кружок, где ему всегда удавалось заполучить ведущие роли в постановках.

В выпускном классе, тем не менее, Андрей Мягков делает выбор в пользу Ленинградского химико-технологического института, после окончания которого, по настоянию отца, он начинает работать в Институте пластических масс. Возможно, не сложилась бы так благосклонно судьба актера, если бы не подходящий случай. В поисках талантливых молодых людей в 1961 году северную столицу посетили мастера-преподаватели Театрального училища им. Немировича-Данченко.

Андрей Мягков решил показать свой талант лицедейства, и эта затея увенчалось успехом для него. Три тура, которые актер прошел, привели его к заслуженному призу. Комиссия приняла его на 1 курс. Обучаясь в театральном училище, Андрей Мягков знакомится со своей будущей единственной женой Анастасией Вознесенской. Любовь к ней всегда давала ему силы идти дальше. Свою любовь они пронесли через всю жизнь, ведь они живут вместе более сорока лет.

Обучение в школе-студии МХАТ была завершено Мягковым в 1965 году. Актер в этом же году стал участником театра «Современник». Работа в этом театре дала толчок для начала работы в кино, а именно в киноленте Ивана Пырьева «Братья Карамазовы», которая вышла на суд зрителей в 1969 году. Роль Алеши Карамазова, младшего из братьев, стала не только серьезным испытанием для Андрея, но и помогла заработать авторитет среди киноэлиты того времени.

Андрей Мягков фильм "Служебный роман"Но все мы знаем Андрея Мягкова по самой выдающейся его роли у Эльдара Рязанова в фильме «Ирония судьбы, или с легким паром!» (1975). Женька Лукашин, которого сыграл актер, не просто запал в души советских граждан. Его копировали, пародировали, над ним смеялись. Он «взял» своим обаянием, детской непосредственностью, свободой слова и невероятной лиричностью образа. Им же исполнены песни в этом фильме.

В 1977 году Мягков покидает «Современник» и переходит в МХАТ, и в этом же году на экраны вышел знаменитый рязановский «Служебный роман». Алиса Фрейндлих помогла нашему герою составить замечательную любовную пару. Рязанов видел потенциал в тогда уже немолодом Андрее Мягковом, потому вскоре появились «Гараж» (1980) и «Жестокий романс» (1984). Одновременно с этими фильмами появились «Дни Турбинных» (1976) и «Гонки по вертикали» (1983).

90-е для Мягкова были отмечены фильмами Глеба Панфилова «Мать» (1990), Леонида Гайдая «На Дерибасовской хорошая погода, или на Брайтон-Бич опять идут дожди» (1992) и Дмитрия Астрахана «Контракт со смертью». Громкой работой для актера также стал фильм-продолжение «иронии» «Ирония судьбы. Продолжение» (2007). Награды не преминули быть в жизни нашего героя. Уже в 1986 году он был удостоен звания Народный артист РСФСР.

За главную роль в фильме «Ирония судьбы, или с легким паром!» Мягков стал Лауреатом Государственной премии СССР. Новосельцев из «Служебного романа» получил Лауреата Государственной премии РСФСР им. братьев Васильевых. Менее значимой стала театральная премия «Чайка» за спектакль «Мещане», МХТ.
 Актер Андрей Мягков показал нам много интересных, увлекательных, а главное настоящих персонажей, образы которых оставят неизгладимый след у нас в памяти еще на долгие годы.